整数分区问题的高效算法设计与优化策略探究

整数分区问题的高效算法设计与优化策略探究

说实话，第一次接触整数分区问题（Integer Partition）的时候，我压根没觉得它有多难——不就是把正整数拆成几个数的和嘛，比如把5拆成4+1、3+2、3+1+1之类的，但真正动手写代码去枚举所有分法的时候，我才意识到这玩意儿复杂度爆炸得有多离谱，n稍微大一点，比如50，分法数量直接冲到20万种以上，更别说100了——那可是接近2亿种分区，那时候我还在用递归硬算，结果跑n=30就卡得我怀疑人生。

后来我才慢慢明白，这问题表面上是个组合数学的玩具，实际上背后藏着动态规划、生成函数、甚至数论的各种技巧，而且它还在实际中有不少应用，比如资源分配、密码学里的密钥组合，甚至机器学习中的某些离散优化场景，但说实话，大多数教材讲这个也就止步于递归或者二维dp，代码写得工工整整，一点烟火气都没有——像是没被实际毒打过一样。

我自己最早写递归的时候，没加任何缓存，重复计算到内存溢出了好几次，后来学乖了，上了带备忘录的递归（也就是记忆化搜索），效率一下子提上来了，比如用dp[i][j]表示把整数i拆成不超过j的数的方案数,然后递归式大概长这样：

if j > i: 
    dp[i][j] = dp[i][i]
else:
    dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 1]

这玩意儿虽然简单，但已经能让n=100在毫秒级出结果了，不过我当时心里还是有点嘀咕：是不是还有更省内存的办法？毕竟二维数组的空间复杂度是O(n²),n大了也挺吃内存的。

后来看论文才知道还真有——用一维dp滚动数组可以优化掉一个维度，但我觉得最有意思的不是这个，而是生成函数的方法，一开始我完全没法想象，为什么多项式乘法能和整数分区扯上关系？直到我把$(1+x+x^2+...)(1+x^2+x^4+...)$展开之后才发现，每一项的系数刚好就是分区数，数学之美有时候真的让人起鸡皮疙瘩——虽然实际写代码去实现生成函数计算也挺麻烦的，尤其是当n很大时得多项式卷积,FFT什么的都得上。

不过说到实际写代码，我发现自己更倾向于用动态规划+空间优化，因为生成函数虽然优雅，但写起来容易出bug，而且常数比较大，有一次我尝试用Python写了一个生成函数版本的分区计算，结果n=200的时候内存直接炸了——因为我傻乎乎地把所有系数都存下来了,其实很多项根本不需要。

再往后，我还尝试过用五边形数定理来优化——欧拉老爷子是真的神，居然发现整数分区的生成函数倒数就是五边形数的生成函数，这样一来，可以用递推关系直接算分区数，连多项式乘法都省了,代码写出来大概长这样：

def pentagonal(n):
    return n * (3 * n - 1) // 2
partitions = [1]
for i in range(1, n + 1):
    k, sign, s = 1, 1, 0
    while True:
        p = pentagonal(k)
        if p > i: break
        s += sign * partitions[i - p]
        p = pentagonal(-k)
        if p > i: break
        s += sign * partitions[i - p]
        k += 1
        sign = -sign
    partitions.append(s)

这算法的时间复杂度是O(n^{1.5})，比dp的O(n²)还好一点，但我第一次实现的时候忘了处理正负五边形数交替符号，结果分区数算出来全是正的……debug了半个多小时才发现。

说到优化策略，我觉得很多时候算法选择得看场景，如果你只是要算分区数，那五边形数方法显然更优；但如果你还要输出所有分区方案（比如做枚举），那还是得回到递归+回溯，只不过得加一些剪枝——比如限制分区的最小值或最大值,或者按字典序生成。

我还在某个项目中遇到过需要分布式计算分区数的情形——n特别大，比如10^5以上，单机根本算不动，那时候我们用MapReduce框架做了个并行dp，按区间划分状态，最后再合并结果，虽然通信开销很大,但至少能跑起来。

有时候我会想，整数分区这个问题之所以吸引人，就是因为它看起来简单，但深入下去能牵扯出那么多东西：动态规划、生成函数、数论、并行计算……甚至还有物理中的应用（比如统计力学中的粒子能级分配），而且它永远有优化空间——比如能不能用GPU加速？能不能用近似算法估计超大的分区数？

不过说真的，我至今也没完全搞懂Ken Ono那群人做的关于分区同余性方面的工作——那种数学太深了，感觉完全是另一个世界，可能这就是研究最真实的样子吧：你觉得自己已经摸到边了，抬头一看,前面还有一片海。

写代码解决问题就是这样，总是在“我好菜”和“我好像懂了”之间反复横跳，但每次优化成功那一刻的快感——比如看到n=1000的分区数在0.1秒内跳出来——真是让人上瘾。

或许这就是算法的魅力吧。